Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \frac{e^{4 x}}{\left(1+3 e^{4 x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{4x}}{\bigl(1+3e^{4x}\bigr)^{2}}\,dx.
Este tipo de integral sugere usar substituição, pois o denominador é uma função cuja derivada (exceto constante) aparece no numerador.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 1 + 3e^{4x}.
Então
du = 12\,e^{4x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{4x}\,dx = \frac{du}{12}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{e^{4x}}{\bigl(1+3e^{4x}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{12} = \frac{1}{12}\int u^{-2}\,du.
Agora integramos:
\frac{1}{12}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{12}\cdot\frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{12u} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, obtemos
-\frac{1}{12\,u} + C = -\frac{1}{12\bigl(1+3e^{4x}\bigr)} + C.

Resposta

-\frac{1}{12\bigl(1+3e^{4x}\bigr)} + C

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