Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{3}dx
usando integração imediata ou substituição. Aqui vamos aplicar o desenvolvimento pelo binômio de Newton para depois usar a regra de potência e a integração de 1/x.

Passo 2

Expandimos o integrando com o binômio de Newton:
\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{3} =1 + 3\cdot \tfrac{1}{x} + 3\cdot \tfrac{1}{x^{2}} + \tfrac{1}{x^{3}} =1 + 3x^{-1} + 3x^{-2} + x^{-3}.

Passo 3

Integramos termo a termo usando a regra de potência \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) (para n\neq -1) e \int x^{-1}dx = \ln\lvert x\rvert:
\int 1\,dx = x, \quad \int 3x^{-1}dx = 3\ln\lvert x\rvert,
\int 3x^{-2}dx = 3\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1}, \quad \int x^{-3}dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\tfrac{1}{2}x^{-2}.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, temos
\int\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{3}dx = x + 3\ln\lvert x\rvert - \frac{3}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + C.

Resposta

x + 3\ln\lvert x\rvert - \frac{3}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + C.

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