Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \frac{d x}{(x+2)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{(x+2)^{3}}
Isso envolve uma função do tipo (x+2)^{n} com n=-3. Podemos usar o método da substituição para transformar em uma potência simples e, em seguida, aplicar a fórmula de integração de potências.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 2
Logo,
du = dx.
Com isso, a integral em x passa a ser uma integral em u:
\int \frac{dx}{(x+2)^{3}} = \int u^{-3}\,du.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de potência para integrais:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1.
Aqui n = -3, então
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\tfrac{1}{2}\,u^{-2} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, lembrando que u = x+2, obtemos
-\tfrac{1}{2}\,u^{-2} + C = -\frac{1}{2}\,(x+2)^{-2} + C = -\frac{1}{2(x+2)^{2}} + C.

Resposta

-\frac{1}{2(x+2)^{2}} + C

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