Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \frac{\sqrt[x]{\pi}}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sqrt[x]{\pi}}{x^{2}}\,dx
ou seja,
\int \frac{\pi^{1/x}}{x^{2}}\,dx.
Aqui vamos usar o método de substituição, pois vemos a forma 1/x no expoente e um fator 1/x^{2} que combina com a derivada de 1/x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{1}{x}.
Então a derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^{2}},
ou seja
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{\pi^{1/x}}{x^{2}}\,dx = \int \pi^{u}\,\frac{1}{x^{2}}\,dx = \int \pi^{u}\,(-du) = - \int \pi^{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos \pi^{u} em relação a u. Como \pi^{u} = e^{u\ln\pi}, vale
\int \pi^{u}\,du = \int e^{u\ln\pi}\,du = \frac{e^{u\ln\pi}}{\ln\pi} = \frac{\pi^{u}}{\ln\pi}.
Portanto
- \int \pi^{u}\,du = - \frac{\pi^{u}}{\ln\pi} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que u = 1/x. Logo a antiderivada é
- \frac{\pi^{1/x}}{\ln\pi} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{\sqrt[x]{\pi}}{x^{2}}\,dx = - \frac{\pi^{1/x}}{\ln\pi} + C }.

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