Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \frac{\sqrt{x^{7}}-\sqrt[3]{x}}{6 \sqrt[4]{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x^{7}} - \sqrt[3]{x}}{6 \sqrt[4]{x}} \, dx.
O conteúdo aqui é integração de potências. Vamos reescrever os radicais como potências fracionárias e usar a regra
\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Converto as raízes em potências:
\sqrt{x^7} = x^{7/2},
\sqrt[3]{x} = x^{1/3} e
\sqrt[4]{x} = x^{1/4}.
Assim o integrando fica
\frac{\sqrt{x^7} - \sqrt[3]{x}}{6\sqrt[4]{x}} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{x^{7/2}}{x^{1/4}} - \frac{x^{1/3}}{x^{1/4}}\Bigr) = \frac{1}{6}\bigl(x^{13/4} - x^{1/12}\bigr).

Passo 3

Agora aplico a regra de potência em cada termo. Para x^{13/4}:
\int x^{13/4}\,dx = \frac{x^{17/4}}{17/4} = \frac{4}{17}\,x^{17/4}.
Para x^{1/12}:
\int x^{1/12}\,dx = \frac{x^{13/12}}{13/12} = \frac{12}{13}\,x^{13/12}.
Logo a primitiva geral é
\frac{1}{6}\Bigl(\frac{4}{17} x^{17/4} - \frac{12}{13} x^{13/12}\Bigr) + C.

Passo 4

Simplifico os coeficientes:
\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{4}{17} = \frac{4}{102} = \frac{2}{51}
e
\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{12}{13} = \frac{12}{78} = \frac{2}{13}.
Portanto a resposta final é
\frac{2}{51}\,x^{17/4} \;-\;\frac{2}{13}\,x^{13/12} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{51}\,x^{17/4} \;-\;\frac{2}{13}\,x^{13/12} + C

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