Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \frac{e^{\frac{1}{x}}+1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{\frac{1}{x}}+1}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, pois a derivada de \tfrac{1}{x} é -\tfrac{1}{x^{2}}. Vamos explorar isso.

Passo 2

Definimos a substituição
u = \frac{1}{x}.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x^{2}} = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{e^{\frac{1}{x}}+1}{x^{2}}\,dx = \int \bigl(e^{u}+1\bigr)\frac{dx}{x^2} = \int \bigl(e^{u}+1\bigr)\bigl(-du\bigr) = -\int \bigl(e^{u}+1\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
-\int \bigl(e^{u}+1\bigr)\,du = -\int e^{u}\,du \;-\;\int 1\,du = -e^{u} \;-\; u \;+\; C.

Resposta

-e^{\frac{1}{x}} \;-\; \frac{1}{x} \;+\; C.

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