Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{(1+x) \sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{(1+x)\,\sqrt{x}}\;dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição. Vamos transformar a variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x}\quad\Longrightarrow\quad x = t^2,\quad dx = 2t\,dt.
Nesse caso 1+x = 1 + t^2 e \sqrt{x}=t. Substituindo na integral,
\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{(1+x)\,\sqrt{x}}\;dx = \int \frac{\arctan(t)}{(1+t^2)\,t}\,2t\,dt.

Passo 3

No integrando acima o fator t cancela, ficando
\int \frac{\arctan(t)}{1+t^2}\;2\,dt = 2\int \frac{\arctan(t)}{1+t^2}\;dt.
Agora aplicamos uma nova substituição para resolver essa integral.

Passo 4

Tomamos
u = \arctan(t) \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{1+t^2}\,dt.
Logo
2\int \frac{\arctan(t)}{1+t^2}\;dt = 2\int u\;du = u^2 + C.
Voltando à variável original t=\sqrt{x},
u^2 = \bigl(\arctan(t)\bigr)^2 = \bigl(\arctan\sqrt{x}\bigr)^2.

Resposta

\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{(1+x)\,\sqrt{x}}\;dx = \bigl(\arctan\sqrt{x}\bigr)^2 + C.

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