Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=e^{2 \cos (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=e^{2\cos(2x)}. O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia aplicada a uma exponencial composta. Vamos identificar as funções internas para depois diferenciar.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=2\cos(2x)
e a função externa
y(u)=e^{u}.
A Regra da Cadeia diz que
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Calculamos cada derivada:
A derivada da externa em relação a u é
\frac{dy}{du}=e^{u}.
A derivada da interna em relação a x é
\frac{du}{dx} =2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(2x)\bigr) =2\bigl(-\sin(2x)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(2x) =-2\sin(2x)\cdot2 =-4\sin(2x).

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
\frac{dy}{dx} =e^{u}\,\bigl(-4\sin(2x)\bigr) =-4\sin(2x)\,e^{u}.
Substituindo u=2\cos(2x), obtemos a derivada final.

Resposta

y' = -4\sin(2x)\,e^{2\cos(2x)}.

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