Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\cos \left(x^{2}+3\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\cos\bigl(x^{2}+3\bigr) usando a regra da cadeia. Vamos identificar a função externa f(u)=\cos(u) e a interna u(x)=x^{2}+3 para aplicar a fórmula.

Passo 2

Definimos a função interna:
u(x)=x^{2}+3.
Ela representa o argumento da função cosseno.

Passo 3

A função externa é
f(u)=\cos(u).
Aplicando a derivada de f em termos de u, obtemos
f'(u)=-\sin(u).

Passo 4

Agora derivamos a interna u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3\bigr)=2x.

Passo 5

Pela regra da cadeia, a derivada de y=f(u(x)) é
y'=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot 2x =-2x\sin\bigl(x^{2}+3\bigr).

Resposta

y'=-2x\sin\bigl(x^{2}+3\bigr).

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