Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int x^{3} \sqrt{x^{2}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\sqrt{x^{2}+3}\,dx
O conteúdo principal aqui é substituição, pois dentro da raiz temos x^{2}+3 cuja derivada está presente no fator x^{3}\,dx.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2}+3.
Diferenciando, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Repare que x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx e podemos expressar x^{2} = u - 3.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int x^{3}\sqrt{x^{2}+3}\,dx = \int (u-3)\sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \bigl(u-3\bigr)u^{\tfrac12}\,du.
Distribuindo os fatores,
\frac{1}{2}\int \bigl(u^{\tfrac32}-3u^{\tfrac12}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int u^{\tfrac32}\,du = \frac{2}{5}u^{\tfrac52}, \quad \int u^{\tfrac12}\,du = \frac{2}{3}u^{\tfrac32}.
Logo,
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{2}{5}u^{\tfrac52} - 3\cdot\frac{2}{3}u^{\tfrac32}\Bigr) = \frac{1}{5}u^{\tfrac52} - u^{\tfrac32}.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = x^{2}+3:
\frac{1}{5}\bigl(x^{2}+3\bigr)^{\tfrac52} - \bigl(x^{2}+3\bigr)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\int x^{3}\sqrt{x^{2}+3}\,dx = \frac{1}{5}(x^{2}+3)^{\tfrac52} - (x^{2}+3)^{\tfrac32} + C.

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