Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \sqrt{\operatorname{sen} x} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{\operatorname{sen} x}\,\cos x\,dx
usando integração imediata ou substituição. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, lembrando que a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x e que a regra do poder nos dá
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen} x.
Então, ao derivar ambos os lados em relação a x, obtemos
du = \cos x\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \sqrt{\operatorname{sen} x}\,\cos x\,dx = \int \sqrt{u}\,du = \int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra do poder para integrar u^{\tfrac12}:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12+1}}{\tfrac12+1} + C = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = \operatorname{sen} x:
\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\frac{2}{3}\,\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{\tfrac32} + C

Exercícios relacionados