Exemplo 4: Calcule \iint_{D} e^{2 x^{2}+9 y^{2}} d A em que D é a região limitada pela elipse 2 x^{2}+9 y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{D} e^{2 x^{2}+9 y^{2}}\,dA
em que D é a região limitada pela elipse
2 x^{2}+9 y^{2}=9.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis para normalizar a elipse e depois uso de coordenadas polares.

Passo 2

Fazemos a substituição linear
u = \sqrt{2}\,x,\quad v = 3\,y,
que transforma a elipse 2 x^{2}+9 y^{2}=9 em u^{2}+v^{2}=9.
Invertendo,
x = \frac{u}{\sqrt{2}},\quad y = \frac{v}{3}.
O jacobiano dessa transformação é
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{3} \end{vmatrix} = \frac{1}{3\sqrt{2}},
logo dA = dx\,dy = \tfrac{1}{3\sqrt{2}}\,du\,dv.]

Passo 3

Em variáveis (u,v) a integral fica
\iint_{u^{2}+v^{2}\le 9} e^{u^{2}+v^{2}}\;\frac{1}{3\sqrt{2}} \,du\,dv.

Passo 4

Agora usamos coordenadas polares em (u,v):
u = r\cos\theta,\quad v = r\sin\theta, \quad 0\le r\le 3,\;0\le \theta\le 2\pi, \quad du\,dv = r\,dr\,d\theta.
A integral passa a ser
\frac{1}{3\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} e^{r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos primeiro a parte radial:
\int_{0}^{3} r\,e^{r^{2}}\,dr =\frac{1}{2}\bigl(e^{r^{2}}\bigr)\Big|_{0}^{3} =\frac{1}{2}\bigl(e^{9}-1\bigr).

Passo 6

Substituindo de volta e integrando em \theta:
\frac{1}{3\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-1\bigr) \,d\theta =\frac{e^{9}-1}{6\sqrt{2}}\cdot 2\pi =\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\bigl(e^{9}-1\bigr).

Resposta

\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\bigl(e^{9}-1\bigr).

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