Se O é circuncentro do triângulo A B C, traça uma circunferência por A e C que intercepta A B e B C em M e N. Calcule a medida do ângulo que formam OB e MN.
A) 45^{\circ}
B) 60^{\circ}
C) 90^{\circ}
D) 120^{\circ}
E) 135^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que O é o circuncentro de ABC, ou seja,
\,OA=OB=OC.
Traçamos uma segunda circunferência \Gamma que passa por A e C e corta AB em M (além de A) e BC em N (além de C).
Queremos mostrar que a reta OB é perpendicular à reta MN, ou seja, \angle(OB,MN)=90^\circ.
Vamos usar coordenadas para representar o círculo geral que passa por A e C e calcular a condição de ortogonalidade via produto escalar.

Passo 2

Escolhemos
B=(0,0),\quad A=(a,0),\quad C=(0,c),
com a>0, c>0.
O circuncentro de ABC é o ponto médio de AC, logo
O=\bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{c}{2}\bigr),
e o vetor \overrightarrow{OB}=(0,0)-\bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{c}{2}\bigr)=\bigl(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{c}{2}\bigr).

Passo 3

A circunferência \Gamma geral que passa por A e C pode ser escrita como
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,
e as condições de passar por A=(a,0) e C=(0,c) são
a^2 +D\,a +F=0, \qquad c^2 +E\,c +F=0.
Quando y=0, a interseção com o eixo x são x=a (ponto A) e x=m (ponto M), logo
x^2+Dx+F=0 \quad\Longrightarrow\quad m+a=-D.
Analogamente, em x=0 as interseções com o eixo y são y=c (ponto C) e y=n (ponto N), dando
y^2+Ey+F=0 \quad\Longrightarrow\quad n+c=-E.

Passo 4

Da diferença das condições em A e C,
(a^2 +Da +F)-(c^2 +Ec +F)=0 \quad\Longrightarrow\quad cE - aD = a^2 - c^2.

Passo 5

O vetor diretor de MN (de M=(m,0) a N=(0,n)) é
\overrightarrow{MN}= (0-m,\;n-0)=(-m,\;n).
Para OB\perp MN precisamos que
\overrightarrow{OB}\;\cdot\;\overrightarrow{MN} = \bigl(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{c}{2}\bigr)\cdot(-m,n) = -\tfrac{a}{2}(-m)+(-\tfrac{c}{2})\,n = \tfrac{a\,m - c\,n}{2} =0,
isto é,
a\,m = c\,n.
Substituindo m=-a-D e n=-c-E obtém-se
a(-a-D)=c(-c-E) \quad\Longrightarrow\quad cE - aD = a^2 - c^2,
exatamente a relação do passo anterior. Logo a condição de ortogonalidade vale sempre, e
\angle(OB,MN)=90^\circ.

Resposta

90^\circ
Alternativa (C)

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