Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por partes.
\int x^{2} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\cos x\,dx
usando o método de integração por partes. Nesse método vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhendo de forma conveniente u e dv.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação:
u = x^{2}, \quad dv = \cos x\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int \cos x\,dx = \sin x.
Pela fórmula, a integral original fica
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int \sin x\,(2x\,dx).

Passo 3

Agora precisamos calcular
\int 2x\sin x\,dx.
Para isso aplicamos integração por partes de novo, com
u_{2} = 2x, \quad dv_{2} = \sin x\,dx,
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du_{2} = 2\,dx, \quad v_{2} = \int \sin x\,dx = -\cos x.
Assim
\int 2x\sin x\,dx = 2x\,( -\cos x ) - \int ( -\cos x )\,2\,dx = -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx.

Passo 4

Sabemos que
\int \cos x\,dx = \sin x,
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\int 2x\sin x\,dx = -2x\cos x + 2\sin x.
Voltando à expressão do Passo 2, obtemos
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \bigl(-2x\cos x + 2\sin x\bigr).

Passo 5

Fazendo a subtração e acrescentando a constante de integração C, resulta
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C.

Resposta

\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C.

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