Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por partes.
\int e^{x} \cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x}\cos(2x)\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar partes duas vezes e, depois, resolver a equação obtida para o próprio integral.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{x}\cos(2x)\,dx.
Fazendo a primeira integração por partes, tomamos
u = e^{x},\quad dv = \cos(2x)\,dx,
logo
du = e^{x}\,dx,\quad v = \int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x).
Assim,
I = u v - \int v\,du = e^{x}\cdot\tfrac{1}{2}\sin(2x) - \int \tfrac{1}{2}\sin(2x)\,e^{x}dx = \tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x) - \tfrac{1}{2}\int e^{x}\sin(2x)\,dx.
Seja
J = \int e^{x}\sin(2x)\,dx,
então
I = \tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x) - \tfrac{1}{2}J.

Passo 3

Agora calculamos
J = \int e^{x}\sin(2x)\,dx
por partes de novo, escolhendo
u = e^{x},\quad dv = \sin(2x)\,dx,
então
du = e^{x}\,dx,\quad v = \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x).
Portanto
J = u v - \int v\,du = e^{x}\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr) - \int \bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr)e^{x}dx = -\tfrac{1}{2}e^{x}\cos(2x) + \tfrac{1}{2}\int e^{x}\cos(2x)\,dx.
Ou seja,
J = -\tfrac{1}{2}e^{x}\cos(2x) + \tfrac{1}{2}I.

Passo 4

Voltando à expressão de I,
I = \tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x) - \tfrac{1}{2}J = \tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x) - \tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{x}\cos(2x) + \tfrac{1}{2}I\Bigr).
Distribuindo,
I = \tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x) + \tfrac{1}{4}e^{x}\cos(2x) - \tfrac{1}{4}I.
Somando \tfrac{1}{4}I aos dois lados,
I + \tfrac{1}{4}I = \tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x) + \tfrac{1}{4}e^{x}\cos(2x),
\tfrac{5}{4}I = \tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x) + \tfrac{1}{4}e^{x}\cos(2x).
Logo,
I = \frac{4}{5}\Bigl(\tfrac{1}{2}e^{x}\sin(2x) + \tfrac{1}{4}e^{x}\cos(2x)\Bigr) = \tfrac{2}{5}e^{x}\sin(2x) + \tfrac{1}{5}e^{x}\cos(2x) + C.

Resposta

\int e^{x}\cos(2x)\,dx = \frac{e^{x}}{5}\bigl(2\sin(2x)+\cos(2x)\bigr)+C.

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