Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da decomposição em frações parciais.
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Como o grau do numerador é igual ao do denominador, vamos primeiro fazer divisão polinomial.

Passo 2

Dividindo x^{2} por x^{2}+x-6 obtemos
\frac{x^{2}}{x^{2}+x-6} =1-\frac{x-6}{x^{2}+x-6}.
Portanto
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6}\,dx =\int 1\,dx -\int \frac{x-6}{x^{2}+x-6}\,dx.

Passo 3

Fatoramos o denominador:
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).
Agora decompondo
\frac{x-6}{(x+3)(x-2)} =\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}
vemos que
A+B=1, \quad -2A+3B=-6.
Resolvendo,
A=\tfrac{9}{5}, \quad B=-\tfrac{4}{5}.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+x-6}\,dx =\int 1\,dx -\frac{9}{5}\int \frac{dx}{x+3} +\frac{4}{5}\int \frac{dx}{x-2}.
Integrando cada termo, chegamos a
x -\frac{9}{5}\ln\lvert x+3\rvert +\frac{4}{5}\ln\lvert x-2\rvert + C.

Resposta

x -\frac{9}{5}\ln\lvert x+3\rvert +\frac{4}{5}\ln\lvert x-2\rvert + C.

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