Calcule a integral indefinida.
\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2}-4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-4}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é escolher uma substituição trigonométrica adequada para lidar com \sqrt{x^{2}-4}. Vamos usar a substituição
x = 2\operatorname{sec}\theta,
pois ela transforma \sqrt{x^{2}-4} num termo trigonométrico simples.

Passo 2

Com x=2\operatorname{sec}\theta, temos
dx = 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}-4} = \sqrt{4\operatorname{sec}^{2}\theta - 4} = 2\tan\theta.

Passo 3

Agora reescrevemos o integrando em termos de \theta:
\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-4}}\,dx = \frac{1}{(2\operatorname{sec}\theta)^{3}\,(2\tan\theta)}\,(2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta).
Isso simplifica-se assim:
= \frac{2\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{8\operatorname{sec}^{3}\theta\cdot 2\tan\theta}\,d\theta = \frac{2}{16}\,\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta}\,d\theta = \frac{1}{8}\,\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta = \frac{1}{8}\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

A integral ficou
\int \frac{1}{8}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{8}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Usando a identidade \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}, temos
\frac{1}{8}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{8}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{16}\int (1+\cos(2\theta))\,d\theta = \frac{1}{16}\Bigl(\theta + \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr) + C.
Voltando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, obtemos
= \frac{1}{16}\theta + \frac{1}{32}\cdot 2\sin\theta\cos\theta + C = \frac{1}{16}\theta + \frac{1}{16}\sin\theta\cos\theta + C.

Passo 5

Fazendo o retorno para x:
\theta = \arcsec\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr),
e
\cos\theta = \frac{2}{x}, \quad \sin\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}.
Logo
\sin\theta\cos\theta = \frac{2}{x}\,\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x} = \frac{2\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}}.
Substituindo em nossa primitiva,
\frac{1}{16}\theta + \frac{1}{16}\sin\theta\cos\theta + C = \frac{1}{16}\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) + \frac{1}{16}\cdot\frac{2\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}} + C.

Resposta

\int \frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-4}}\,dx = \frac{1}{16}\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) + \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{8\,x^{2}} + C.

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