Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração trigonométrica.
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan^{3}x \,\operatorname{sec}^{4}x \,dx
usando técnicas de integração trigonométrica. Vamos aproveitar a identidade
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1
e a substituição u = \operatorname{sec} x, pois du = \operatorname{sec} x\tan x\,dx.

Passo 2

Reescrevemos o integrando de modo a isolar um fator \tan x\,\operatorname{sec} x\,dx:
\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{4}x = \bigl(\tan^{2}x\bigr)\,\tan x\,\operatorname{sec}^{4}x = \bigl(\operatorname{sec}^{2}x - 1\bigr)\,\tan x\,\operatorname{sec}^{4}x.

Passo 3

Agora fatoramos \operatorname{sec}^{4}x\,\tan x\,dx para usar du:
\operatorname{sec}^{4}x\,\tan x\,dx = \operatorname{sec}^{3}x\bigl(\operatorname{sec} x\tan x\,dx\bigr) = u^{3}\,du,
e \operatorname{sec}^{2}x - 1 = u^{2}-1. Portanto a integral fica
\int \tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{4}x\,dx = \int (\operatorname{sec}^{2}x - 1)\,\operatorname{sec}^{4}x\,\tan x\,dx = \int (u^{2}-1)\,u^{3}\,du = \int \bigl(u^{5}-u^{3}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int \bigl(u^{5}-u^{3}\bigr)\,du = \frac{u^{6}}{6} - \frac{u^{4}}{4} + C.
Por fim, voltamos a x com u = \operatorname{sec} x:
\frac{u^{6}}{6} - \frac{u^{4}}{4} + C = \frac{\operatorname{sec}^{6}x}{6} - \frac{\operatorname{sec}^{4}x}{4} + C.

Resposta

\int \tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{4}x\,dx = \frac{\operatorname{sec}^{6}x}{6} - \frac{\operatorname{sec}^{4}x}{4} + C.

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