Calcule a integral indefinida.
\int \frac{5 x-2}{x^{2}-4} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{5x - 2}{x^2 - 4}\,dx.
Esse tipo de integral envolve funções racionais, e o método mais direto é a decomposição em frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
Em seguida, propomos a decomposição
\frac{5x - 2}{x^2 - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}.
Multiplicando ambos os lados por (x - 2)(x + 2)\), obtemos \[5x - 2 = A(x + 2) + B(x - 2).
Expandindo e agrupando termos em x:
5x - 2 = (A + B)x + (2A - 2B).
Comparando coeficientes, temos o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\\ 2A - 2B = -2. \end{cases}
Da segunda equação vem A - B = -1\]. Somando com \(A + B = 5, obtemos
2A = 4\quad\Longrightarrow\quad A = 2,
e portanto
B = 5 - A = 3.

Passo 3

Com A=2 e B=3, reescrevemos a integral como
\int \frac{5x - 2}{x^2 - 4}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 2}\Bigr)\,dx.
Usando a primitiva conhecida
\displaystyle \int \frac{1}{x - a}\,dx = \ln\lvert x - a\rvert, concluímos
\int \frac{2}{x - 2}\,dx = 2\ln\lvert x - 2\rvert, \quad \int \frac{3}{x + 2}\,dx = 3\ln\lvert x + 2\rvert.

Resposta

2\ln\lvert x - 2\rvert + 3\ln\lvert x + 2\rvert + C.

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