Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da substituição trigonométrica.
\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-25}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-25}}
usando substituição trigonométrica. Aqui temos uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}} com a=5. A técnica clássica é fazer a troca
x = a\,\operatorname{sec}\theta,
pois assim \sqrt{x^{2}-a^{2}} se torna uma função simples de \theta.

Passo 2

Escolhemos
x = 5\operatorname{sec}\theta.
Dessa forma,
dx = 5\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta
e
\sqrt{x^{2}-25} =\sqrt{25\operatorname{sec}^{2}\theta-25} =5\,\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-25}} = \int \frac{5\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{5\,\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta =\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Retornamos à variável x. Como x=5\operatorname{sec}\theta, segue
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{5}, \qquad \tan\theta = \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta - 1} = \frac{\sqrt{x^{2}-25}}{5}.
Logo,
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| = \ln\Bigl|\frac{x}{5}+\frac{\sqrt{x^{2}-25}}{5}\Bigr| = \ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-25}\bigr| - \ln 5.
Como -\ln 5 é constante, absorvemos em C.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-25}} = \ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-25}\bigr| + C.

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