Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por partes.
\int x^{4} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{4}\ln x\,dx
utilizando o método de integração por partes. Para isso, vamos lembrar que a fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du
e escolher adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln x \quad\text{e}\quad dv = x^{4}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int x^{4}\ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{5}}{5}\,\ln x \;-\;\int \frac{x^{5}}{5}\,\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

No segundo termo, simplificamos o integrando:
\int \frac{x^{5}}{5}\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{5}\int x^{4}\,dx = \frac{1}{5}\,\frac{x^{5}}{5} = \frac{x^{5}}{25}.

Passo 5

Substituindo de volta, a integral fica
\int x^{4}\ln x\,dx = \frac{x^{5}}{5}\,\ln x \;-\;\frac{x^{5}}{25} + C.

Resposta

\boxed{\int x^{4}\ln x\,dx = \frac{x^{5}}{5}\ln x - \frac{x^{5}}{25} + C.}

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