Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por partes.
\int x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \int x \operatorname{sec}^2 x\,dx usando o método de integração por partes. Vamos lembrar da fórmula:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = \operatorname{sec}^2 x\,dx.
Derivando e integrando, obtemos
du = dx, \quad v = \tan x,
pois \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes, fica
\int x \operatorname{sec}^2 x\,dx = x \tan x - \int \tan x\,dx.

Passo 4

Calculamos agora \int \tan x\,dx. Sabemos que
\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \int x \operatorname{sec}^2 x\,dx, temos
\int x \operatorname{sec}^2 x\,dx = x \tan x -\bigl(-\ln|\cos x|\bigr) + C = x \tan x + \ln|\cos x| + C.

Resposta

x \tan x + \ln|\cos x| + C

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