Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração trigonométrica.
\int \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}x \,\cos^{5}x\,dx
usando o método de integração trigonométrica. Vamos usar a técnica de extrair um fator \cos x\,dx e aplicar a substituição u=\operatorname{sen} x.

Passo 2

Separe um dos fatores \cos x para usar como du e escreva o restante em função de \operatorname{sen} x. Observando que \cos^{5}x=\cos^{4}x\cdot\cos x e que \cos^{2}x=1-\operatorname{sen}^{2}x, temos
\operatorname{sen}^{2}x\,\cos^{5}x =\operatorname{sen}^{2}x\,\bigl(\cos^{2}x\bigr)^{2}\,\cos x =\operatorname{sen}^{2}x\,(1-\operatorname{sen}^{2}x)^{2}\,\cos x.

Passo 3

Fazendo a substituição
u=\operatorname{sen} x, \quad du=\cos x\,dx,
a integral em x vira integral em u:
\int \operatorname{sen}^{2}x\,(1-\operatorname{sen}^{2}x)^{2}\,\cos x\,dx =\int u^{2}\,(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expanda o integrando em u:
u^{2}\,(1-u^{2})^{2} =u^{2}\,(1-2u^{2}+u^{4}) =u^{2}-2u^{4}+u^{6}.
Agora integre termo a termo:
\int (u^{2}-2u^{4}+u^{6})\,du =\frac{u^{3}}{3}-2\cdot\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 5

Retornando a variável original \operatorname{sen} x no lugar de u, obtemos
\frac{(\operatorname{sen} x)^{3}}{3}-\frac{2(\operatorname{sen} x)^{5}}{5}+\frac{(\operatorname{sen} x)^{7}}{7}+C.

Resposta

\int \operatorname{sen}^{2}x\,\cos^{5}x\,dx =\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}-\frac{2\,\operatorname{sen}^{5}x}{5}+\frac{\operatorname{sen}^{7}x}{7}+C.

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