Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
© I=integral arctan (x)1+x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, observe que no numerador temos e no denominador . Sabemos que a derivada de é . Isso sugere que podemos escolher para simplificar a integral.

Passo 3

Definimos a substituição:
u = arctan(x)

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de dudx = 11 + x^2 em relação a du = 11 + x^2 , dx :
Isso pode ser rearranjado para:

Passo 5

Substituímos I = integral arctan(x)1 + x^2 , dx = integral u , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples, apenas em termos de .

Passo 6

Integramos integral u , du = u^22 + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u^22 + C = (arctan(x))^22 + C de volta para a variável original :

Resposta

A integral indefinida é:
I = (arctan(x))^22 + C

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