Resolva as equações a seguir.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada a
. Para isso, assumimos uma solução da forma
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Passo 4
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções encontradas:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Observamos que o termo do lado direito é
, que já está presente na solução homogênea. Isso significa que devemos multiplicar nossa suposição por
para evitar a duplicação de soluções.
Passo 7
Vamos tentar uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 9
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é
.
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.