Resolva as equações a seguir.
(e) y'' + y' = e^(-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada a . Para isso, assumimos uma solução da forma .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:

Passo 4

Fatorando :
Como nunca é zero, temos:
Então, as raízes são e .

Passo 5

A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções encontradas:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Observamos que o termo do lado direito é , que já está presente na solução homogênea. Isso significa que devemos multiplicar nossa suposição por para evitar a duplicação de soluções.

Passo 7

Vamos tentar uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:

Passo 8

Substituindo , e na equação original:

Passo 9

Resolvendo para :
Então, a solução particular é .

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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