Encontre as trajetórias ortogonais para cada uma das famílias de curvas indicadas, onde k é um parâmetro real.
b) y = k x^4,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais para a família de curvas dada por , onde é um parâmetro real. Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas e equações diferenciais. Vamos precisar entender como calcular a derivada dessas curvas e como encontrar as curvas que cruzam elas formando um ângulo reto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos: . Aqui, é uma constante que muda para cada curva da família. Para achar a trajetória ortogonal, precisamos saber a inclinação de cada curva dessa família em qualquer ponto.

Passo 3

Para achar a inclinação das curvas , vamos calcular a derivada de em relação a . A derivada nos dá a inclinação da tangente à curva naquele ponto.

Passo 4

Agora, sabemos que as trajetórias ortogonais cruzam as curvas da família original formando um ângulo de 90 graus. Isso significa que se a inclinação da curva original é , a inclinação da trajetória ortogonal será o negativo do inverso dessa derivada.

Passo 5

Mas queremos uma equação que não envolva o parâmetro , já que estamos procurando uma família geral de trajetórias ortogonais. Como sabemos que , podemos isolar :

Passo 6

Vamos substituir na expressão da inclinação ortogonal:

Passo 7

Agora, temos a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação separando as variáveis e .

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por e por :

Passo 9

Agora, integramos ambos os lados:

Passo 10

Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Podemos renomear como para simplificar:

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas pela equação , onde é uma constante real.

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