Encontre as trajetórias ortogonais para cada uma das famílias de curvas indicadas, onde
é um parâmetro real.
b)
,
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais para a família de curvas dada por
, onde
é um parâmetro real. Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas e equações diferenciais. Vamos precisar entender como calcular a derivada dessas curvas e como encontrar as curvas que cruzam elas formando um ângulo reto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos:
. Aqui,
é uma constante que muda para cada curva da família. Para achar a trajetória ortogonal, precisamos saber a inclinação de cada curva dessa família em qualquer ponto.
Passo 3
Para achar a inclinação das curvas
, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A derivada nos dá a inclinação da tangente à curva naquele ponto.
Passo 4
Agora, sabemos que as trajetórias ortogonais cruzam as curvas da família original formando um ângulo de 90 graus. Isso significa que se a inclinação da curva original é
, a inclinação da trajetória ortogonal será o negativo do inverso dessa derivada.
Passo 5
Mas queremos uma equação que não envolva o parâmetro
, já que estamos procurando uma família geral de trajetórias ortogonais. Como sabemos que
, podemos isolar
:
Passo 6
Vamos substituir
na expressão da inclinação ortogonal:
Passo 7
Agora, temos a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação separando as variáveis
e
.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
e por
:
Passo 9
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 10
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como
para simplificar:
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas pela equação
, onde
é uma constante real.