Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int \frac{\operatorname{arctg} x d x}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\arctan x}{1+x^{2}}\,dx
usando o método da substituição. Vamos reconhecer uma função composta do tipo f(g(x))\,g'(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \arctan x,
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du = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Com essa troca, a integral original fica
\int \frac{\arctan x}{1+x^{2}}\,dx = \int u\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos
\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{(\arctan x)^{2}}{2} + C.

Resposta

\int \frac{\arctan x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{(\arctan x)^{2}}{2} + C.

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