Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int \cos (4 x-3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(4x - 3)\,dx
usando o método da substituição. A ideia é identificar uma parte interna g(x)=4x-3 cuja derivada aparece (até constante) multiplicando a função externa.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4x - 3.
Então a derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx} = 4 \quad\Longrightarrow\quad du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \cos(4x - 3)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\,\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos \cos(u) em relação a u:
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Logo,
\frac{1}{4}\,\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\,\bigl(\sin(u) + C\bigr) = \frac{1}{4}\sin(u) + C',
onde C' é uma constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 4x - 3:
\frac{1}{4}\sin(u) + C' = \frac{1}{4}\sin\bigl(4x - 3\bigr) + C.

Resposta

\int \cos(4x - 3)\,dx = \frac{1}{4}\,\sin\bigl(4x - 3\bigr) + C.

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