Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int(2-5 x)^{6} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função (2-5x)^{6} usando o método da substituição. Esse método consiste em identificar uma parte interna g(x) cuja derivada aparece multiplicando e então trocar para a variável u=g(x), simplificando a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = 2 - 5x.
Logo,
du = -5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\tfrac{1}{5}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int (2-5x)^{6}\,dx = \int u^{6}\,\bigl(-\tfrac{1}{5}\,du\bigr) = -\tfrac{1}{5}\int u^{6}\,du.
Agora integramos u^{6}:
-\tfrac{1}{5}\int u^{6}\,du = -\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{u^{7}}{7} = -\tfrac{u^{7}}{35}.

Passo 4

Voltando à variável x pela relação u=2-5x, a primitiva fica
-\frac{(2-5x)^{7}}{35} + C.

Resposta

-\frac{(2-5x)^{7}}{35} + C

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