Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int \operatorname{sen}^{7} x \cdot \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \sin^{7}x\,\cos x\,dx
usando o método da substituição simples.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \sin x
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du = \cos x\,dx.
Assim a integral em x vira uma integral em u:
\int \sin^{7}x\,\cos x\,dx = \int u^{7}\,du.

Passo 3

Agora basta integrar em u:
\int u^{7}\,du = \frac{u^{8}}{8} + C.
Voltando à variável x, temos
\frac{u^{8}}{8} + C = \frac{\sin^{8}x}{8} + C.

Resposta

\frac{\sin^{8}x}{8} + C

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