Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int_{0}^{1} \frac{\ln \left(x^{2}+2 x+1\right)}{x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\frac{\ln\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)}{x+1}\,dx
usando o método da substituição. Note que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, então poderemos simplificar o logaritmo e aplicar uma mudança de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 1, \quad du = dx.
Quando x=0 temos u=1 e quando x=1 temos u=2. Assim os limites passam de x\in[0,1] para u\in[1,2].

Passo 3

Reescrevendo o integrando em função de u:
\ln\bigl(x^{2}+2x+1\bigr) = \ln\bigl((x+1)^{2}\bigr) = 2\,\ln(u).
Logo,
\frac{\ln\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)}{x+1}\,dx = \frac{2\,\ln(u)}{u}\,du.
A integral torna-se
\int_{0}^{1}\frac{\ln\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)}{x+1}\,dx = \int_{1}^{2}\frac{2\,\ln(u)}{u}\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int \frac{2\,\ln(u)}{u}\,du, lembramos que
\frac{d}{du}\bigl(\ln(u)\bigr)^{2} =2\,\ln(u)\,\frac{1}{u}.
Portanto um antiderivado é
\int \frac{2\,\ln(u)}{u}\,du = \bigl(\ln(u)\bigr)^{2} + C.

Passo 5

Agora avaliamos de u=1 até u=2:
\left[\bigl(\ln(u)\bigr)^{2}\right]_{1}^{2} = \bigl(\ln(2)\bigr)^{2} - \bigl(\ln(1)\bigr)^{2} = (\ln 2)^{2} - 0 = (\ln 2)^{2}.

Resposta

(\ln 2)^{2}

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