Calcule as seguintes integrais usando o Método da Integração por Partes:
\int u d v=u \cdot v-\int v d u \quad \text { ou } \quad \int_{a}^{b} u d v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u
\int x \cdot \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O problema pede para calcular
\int x\,\operatorname{sen} x\,dx
usando o método de integração por partes, cuja fórmula geral é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aqui precisamos escolher funções u e dv de forma que simplifiquem a nova integral \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x \quad\Longrightarrow\quad du = dx,
dv = \operatorname{sen} x\,dx \quad\Longrightarrow\quad v = \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x.

Passo 3

Aplicando \int u\,dv = u\,v - \int v\,du, temos
\int x\,\operatorname{sen} x\,dx = x \cdot (-\cos x) \;-\;\int \bigl(-\cos x\bigr)\,dx = -\,x\cos x \;+\;\int \cos x\,dx.

Passo 4

A integral remanescente \displaystyle\int \cos x\,dx é elementar e vale
\int \cos x\,dx = \sin x + C.
Portanto, a primitiva geral de x\,\operatorname{sen} x combina os termos obtidos nos passos anteriores.

Resposta

\int x\,\operatorname{sen} x\,dx = -\,x\cos x + \sin x + C.

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