Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int e^{x^{3}} \cdot x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x^{3}}\cdot x^{2}\,dx
usando o método da substituição, que se baseia em reconhecer uma parte da integranda como g(x) e outra como sua derivada g'(x).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3}.
Calculamos o diferencial de u:
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em função de u:
\int e^{x^{3}}\cdot x^{2}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Logo,
\frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{u} + C.

Passo 5

Voltamos à variável x substituindo u = x^{3}:
\frac{1}{3}e^{u} + C = \frac{1}{3}e^{x^{3}} + C.

Resposta

\frac{1}{3}e^{x^{3}} + C

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