Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{d x}{2 x^{2}-2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{2x^{2}-2x+1}
usando o método de frações parciais. Como o denominador é um polinômio quadrático sem raízes reais, vamos completar o quadrado e usar a conhecida fórmula
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador. Note que
2x^{2}-2x+1 = 2\bigl(x^{2}-x+\tfrac12\bigr).
Agora escrevemos
x^{2}-x+\tfrac12 = \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)^{2} - \tfrac14 + \tfrac12 = \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)^{2} + \tfrac14.
Logo,
2x^{2}-2x+1 = 2\Bigl[\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac12\bigr)^{2}\Bigr].

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - \tfrac12,
logo du = dx. A integral vira
\int \frac{dx}{2\bigl(u^{2} + (\tfrac12)^{2}\bigr)} = \frac12 \int \frac{du}{u^{2} + (\tfrac12)^{2}}.

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C
com a = \tfrac12. Então
\frac12 \int \frac{du}{u^{2}+(\tfrac12)^{2}} = \frac12 \cdot \frac{1}{\tfrac12}\, \arctan\!\Bigl(\frac{u}{\tfrac12}\Bigr) + C = \arctan\!\bigl(2u\bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x - \tfrac12, logo
\arctan\!\bigl(2u\bigr) = \arctan\!\bigl(2x-1\bigr).

Resposta

\int \frac{dx}{2x^{2}-2x+1} = \arctan\!\bigl(2x-1\bigr) + C.

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