Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{d x}{2 x^{2}-6 x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{2x^{2}-6x+5}
usando o Método das Frações Parciais. Aqui temos uma função racional cujo denominador é um polinômio de segundo grau que não se fatoriza em reais (discriminante negativo). Logo, após a decomposição típica, vamos completar o quadrado e usar a primitiva de \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}, que gera arco-tangente.

Passo 2

Aplicamos a decomposição em frações parciais para quadrático irreversível. Escrevemos
\frac{1}{2x^{2}-6x+5} =\frac{1}{2}\,\frac{1}{x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}}
e, em seguida, supondo
\frac{1}{x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}} =\frac{Ax+B}{x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}},
temos
1 = (Ax+B)\,,
o que obriga A=0 e B=1. Portanto
\frac{1}{2x^{2}-6x+5} =\frac{1}{2}\,\frac{1}{x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}}.

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}:
x^{2}-3x+\tfrac{5}{2} =\Bigl(x-\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2} +\tfrac{5}{2}-\tfrac{9}{4} =\Bigl(x-\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2} +\tfrac{1}{4}.
Assim
\int \frac{dx}{2x^{2}-6x+5} =\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
u = x-\tfrac{3}{2}, \quad du = dx, \quad a = \tfrac{1}{2},
ficando
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr)+C =\frac{1}{2}\cdot 2\,\arctan\!\bigl(2u\bigr)+C =\arctan\!\bigl(2(x-\tfrac{3}{2})\bigr)+C.

Resposta

\int \frac{dx}{2x^{2}-6x+5} =\arctan\!\bigl(2x-3\bigr)+C.

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