Calcule as integrais indefinidas abaixo, usando o Método da Substituição:
\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u ou
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u
\int 3 \cdot \sqrt{3 x+7} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int 3 \,\sqrt{3x+7}\,dx
e indica usar o método da substituição, que é indicado sempre que a integral tem a forma
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.

Passo 2

Identificamos a parte interna g(x) e sua derivada: seja
u = 3x + 7.
Então
\frac{du}{dx} = 3 \quad\Longrightarrow\quad du = 3\,dx.

Passo 3

Reescrevemos a integral em função de u. Note que \sqrt{3x+7} = \sqrt{u} e dx = \tfrac{du}{3}. Assim:
\int 3\,\sqrt{3x+7}\,dx = \int 3\,\sqrt{u}\,\frac{du}{3} = \int \sqrt{u}\,du = \int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 3x+7:
\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,(3x+7)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\int 3\,\sqrt{3x+7}\,dx = \frac{2}{3}\,(3x+7)^{\tfrac32} + C.

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