Calcule as integrais indefinidas abaixo usando uma substituição conveniente.
integral sen(x)1+cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sen(x)1+cos(x),dx
usando uma substituição.
O conteúdo é cálculo de integrais por substituição simples, pois o numerador envolve a derivada de cos(x) (até um sinal).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + cos(x)
Diferenciando,
du = -sen(x),dx Longrightarrow sen(x),dx = -,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral sen(x)1+cos(x),dx = integral -,duu = -integral duu

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural, então
-integral duu = -lnl|ur| + C
Voltando a x, temos
-lnl|1+cos(x)r| + C

Resposta

-lnl|1+cos(x)r| + C

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