Beleza, vamos resolver a integral imprópria que é . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e conhecimentos sobre integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que facilite o cálculo. Vamos usar a substituição trigonométrica . Por que 4? Porque , e isso vai simplificar a expressão no denominador.
Passo 3
Com , precisamos calcular . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituindo na expressão original:
Portanto,
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral original:
Aqui, simplificamos usando .
Passo 5
A integral é fácil de resolver:
Mas precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
O cateto oposto a é
O cateto adjacente é
A hipotenusa é
Assim,
Passo 6
Substituindo de volta na expressão:
Mas, como estamos resolvendo uma integral definida de a , vamos avaliar os limites.
Passo 7
A integral definida fica:
À medida que x tende a infty, xraiz16 + x^2 to 1, e quando x tende a -infty, xraiz16 + x^2 to -1.