Resolva as integrais improprias abaixo
integral-infty^infty d x(16+x^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria que é integral-infty^infty dx(16 + x^2)^3/2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e conhecimentos sobre integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que facilite o cálculo. Vamos usar a substituição trigonométrica x = 4 tan theta. Por que 4? Porque 16 = 4^2, e isso vai simplificar a expressão no denominador.

Passo 3

Com x = 4 tan theta, precisamos calcular dx. Derivando ambos os lados em relação a theta, temos:
dx = 4 sec^2 theta , dtheta
Agora, substituindo x na expressão original:
16 + x^2 = 16 + 16 tan^2 theta = 16(1 + tan^2 theta) = 16 sec^2 theta
Portanto, (16 + x^2)^3/2 = (16 sec^2 theta)^3/2 = 64 sec^3 theta

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral dx(16 + x^2)^3/2 = integral 4 sec^2 theta , dtheta64 sec^3 theta = integral 4 sec^2 theta64 sec^3 theta , dtheta = integral 116 sec theta , dtheta = 116 integral cos theta , dtheta
Aqui, simplificamos usando sec theta = 1cos theta.

Passo 5

A integral integral cos theta , dtheta é fácil de resolver:
116 integral cos theta , dtheta = 116 sin theta + C
Mas precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que x = 4 tan theta, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • O cateto oposto a theta é x
  • O cateto adjacente é 4
  • A hipotenusa é raiz16 + x^2
    Assim, sin theta = xraiz16 + x^2

Passo 6

Substituindo sin theta de volta na expressão:
116 sin theta = 116 cdot xraiz16 + x^2 + C
Mas, como estamos resolvendo uma integral definida de -infty a infty, vamos avaliar os limites.

Passo 7

A integral definida fica:
116 cdot xraiz16 + x^2 |-infty^infty
À medida que x tende a infty, xraiz16 + x^2 to 1, e quando x tende a -infty, xraiz16 + x^2 to -1.

Passo 8

Calculando os limites:
116 (1 - (-1)) = 116 cdot 2 = 18

Resposta

O valor da integral é 18.

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