Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada: integral 2 x(x^2+4)^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício: calcular a integral indefinida de em relação a . Aqui, vamos trabalhar com o conceito de substituição de variável, que é uma técnica muito útil para simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável. Olhando para a integral , percebemos que o denominador está dentro de uma potência e a derivada disso aparece no numerador.

Passo 3

Vamos definir . Isso facilita a integral porque a derivada de em relação a é . Podemos rearranjar isso para , que é exatamente o que temos no numerador da nossa integral.

Passo 4

Agora, substituímos na integral original usando integral 2x(x^2+4)^2 , dx = integral 1u^2 , du e :
Isso simplifica bastante a integral, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral de integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos -1u + C = -1x^2+4 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados