Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada: integral e^2 x d x

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular a integral indefinida de em relação a , ou seja, . Vamos usar o método de substituição de variável, que é uma técnica útil para simplificar integrais complicadas, transformando-as em algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Aqui, a parte complicadíssima é o expoente u = 2x . Vamos chamar esse expoente de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a relação entre dudx = 2 Rightarrow du = 2 , dx e dx = du2 . Derivando em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos integral e^2x , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples de resolver!

Passo 5

A integral de integral e^u , du = e^u + C em relação a 12 integral e^u , du = 12 e^u + C é conhecida:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Finalmente, lembrando que 12 e^2x + C , substituímos de volta para obter a resposta em termos de :

Resposta

A integral indefinida de integral e^2x , dx = 12 e^2x + C é:

Exercícios relacionados