Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada: integral cos (x) raizsin (x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de cos(x) raizsin(x) em relação a x. Esse tipo de integral geralmente envolve a técnica de substituição de variável, que é muito útil quando a integral tem uma função composta. Vamos usar a substituição para simplificar essa expressão e encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, simplificaria a integral. Aqui, temos raizsin(x) e também cos(x) multiplicando. A derivada de sin(x) é cos(x), então faz sentido escolher u = sin(x).

Passo 3

Definimos u = sin(x). Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
du = cos(x) dx
Isso é bom porque temos cos(x) dx na nossa integral original.

Passo 4

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral cos(x) raizsin(x) dx = integral raizu , du
Porque raizsin(x) = raizu e cos(x) dx = du.

Passo 5

Agora, a integral está mais simples: integral raizu , du. Sabemos que raizu = u^1/2. A regra da potência para integrais nos diz que integral u^n du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra da potência:
integral u^1/2 du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = sin(x):
23 u^3/2 + C = 23 (sin(x))^3/2 + C = 23 sin^3/2(x) + C

Resposta

A integral é igual a 23 sin^3/2(x) + C, onde C é a constante de integração.

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