Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes: integral ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de ln(x) em relação a x. Isso significa que queremos achar uma função cuja derivada seja ln(x). Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a integral envolve o produto de duas funções. Aqui, a gente vai identificar quais partes da nossa integral vão ser essas duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Onde:
  • u é uma função que vamos derivar ( du),
  • dv é outra função que vamos integrar para achar v.

Passo 3

No nosso caso, a integral é integral ln(x) , dx. Temos que escolher qual parte vai ser u e qual vai ser dv.
Vamos escolher:
  • u = ln(x)
  • dv = dx

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
    du = ddx ln(x) , dx = 1x , dx
  • Integrando dv para achar v:
    v = integral dx = x

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula da integração por partes:
integral ln(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du:
integral ln(x) , dx = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a integral que ficou:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x
Então, substituindo de volta:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de ln(x) em relação a x é:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C

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