Calcule os limites abaixo
lim x -infty x^3-4 x+3x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -infty x^3-4 x+3x^2-4
Aqui, estamos lidando com um limite no infinito de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver, vamos analisar o comportamento desses polinômios quando vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, identifique o grau do numerador e do denominador. O grau é o maior expoente de em cada polinômio.
  • No numerador , o grau é 3.
  • No denominador , o grau é 2.
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, sabemos que o limite tende para infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo pelo maior termo de x^3-4x+3x^2-4 = x^3/x^2 - 4x/x^2 + 3/x^2x^2/x^2 - 4/x^2 = x - 4x + 3x^21 - 4x^2 no denominador, que é :

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando x - 0 + 01 - 0 = x1 = x tende a menos infinito ( ):
  • continua tendendo a menos infinito.
  • tende a 0, pois qualquer número dividido por algo que cresce sem limite tende a zero.
  • também tende a 0, pelo mesmo motivo.
  • no denominador também tende a 0.
Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, sabemos que lim x -infty x = -infty tende a menos infinito, então:
Isso significa que a função cresce sem limite negativo à medida que vai para menos infinito.

Resposta

lim x -infty x^3-4 x+3x^2-4 = -infty

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