Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes: integral x arctan (x) d x

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer. Temos que calcular a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = arctan(x)
e
dv = x , dx
Faz sentido escolher porque a derivada de é mais simples.

Passo 4

Agora, vamos calcular du = 11 + x^2 , dx e v = integral x , dx = x^22 .
Para :
Isso porque a derivada de é .
Para :

Passo 5

Com integral x arctan(x) , dx = u , v - integral v , du , integral x arctan(x) , dx = arctan(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 11 + x^2 , dx , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^22(1 + x^2) , dx = 12 integral x^21 + x^2 , dx
Podemos reescrever o numerador:
x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2
Portanto:
12 integral (1 - 11 + x^2) , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 ( integral 1 , dx - integral 11 + x^2 , dx ) = 12 ( x - arctan(x) )

Passo 8

Voltando à nossa expressão inicial:
integral x arctan(x) , dx = x^22 arctan(x) - 12 ( x - arctan(x) ) + C
Simplificando os termos:
integral x arctan(x) , dx = x^22 arctan(x) - x2 + 12 arctan(x) + C

Resposta

integral x arctan(x) , dx = x^22 arctan(x) - x2 + 12 arctan(x) + C
onde é a constante de integração.

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