Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada: integral d xraiz4-x^2

Passo 1

Beleza, temos aqui uma integral indefinida para resolver: . O conteúdo envolve cálculo de integrais utilizando a técnica de substituição de variável. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifique a integral, facilitando sua resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que torne a integral mais fácil. Observamos que o denominador x = 2 sintheta se parece com a forma , que é clássica para usar substituições trigonométricas. Vamos então definir:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a diferencial dx = 2 costheta , dtheta . Derivando ambos os lados da substituição em relação a , temos:
Isso nos ajudará a substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo integral 2 costheta , dthetaraiz4 - (2 sintheta)^2 = integral 2 costheta , dthetaraiz4 - 4 sin^2theta e raiz4(1 - sin^2theta) = raiz4 cos^2theta = 2 costheta na integral, ela fica assim:
integral 2 costheta , dtheta2 costheta = integral dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Integrando theta + C fica simplesmente:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x = 2 sintheta . Lembrando da substituição que fizemos:
sintheta = x2 implies theta = arcsin(x2)
Então:

Resposta

Portanto, a integral resolve para:
integral dxraiz4 - x^2 = arcsin(x2) + C

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