Calcule as integrais indefinidas abaixo, utilizando substituições por identidades trigonométricas: integral sin ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, o conteúdo que vamos usar é a integração de funções trigonométricas, mais especificamente, a utilização de identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos precisar da identidade de que nos ajudará a reescrever a função de uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 com o cosseno de duplo ângulo. A identidade é:
Essa identidade é super útil porque transforma o seno ao quadrado em uma expressão que envolve o cosseno de , o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos a identidade na integral original:
integral sin^2(x) , dx = integral 1 - cos(2x)2 , dx
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo por 2:
= 12 integral (1 - cos(2x)) , dx

Passo 4

Vamos então integrar cada termo separadamente:
= 12 ( integral 1 , dx - integral cos(2x) , dx )
A integral de 1 em relação a integral cos(kx) , dx = 1k sin(kx) + C é simplesmente integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) + C . Já a integral de = 12 ( x - 12 sin(2x) ) + C usa uma substituição simples. Sabemos que:
Aplicando isso com :
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

Portanto, a integral de integral sin^2(x) , dx = x2 - sin(2x)4 + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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