Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes: integral ln (x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral ln (x^2+1) dx. O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar escolher partes da função para definir e , e depois aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da função será u = ln(x^2 + 1) e qual será dv = dx . Uma boa escolha é:
Escolhemos como a função logarítmica porque sua derivada simplifica a expressão, e como para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx ln(x^2 + 1) cdot dx = 2xx^2 + 1 dx e v = integral dv = integral dx = x :
Para :
Para :

Passo 4

Com integral u , dv = uv - integral v , du , integral ln(x^2 + 1) dx = x ln(x^2 + 1) - integral x cdot 2xx^2 + 1 dx , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
integral x cdot 2xx^2 + 1 dx = 2 integral x^2x^2 + 1 dx
Podemos separar essa fração:
x^2x^2 + 1 = 1 - 1x^2 + 1
Então:
2 integral (1 - 1x^2 + 1) dx = 2 integral 1 , dx - 2 integral 1x^2 + 1 dx = 2x - 2 arctan(x)

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral ln(x^2 + 1) dx = x ln(x^2 + 1) - (2x - 2 arctan(x))
Simplificando:
integral ln(x^2 + 1) dx = x ln(x^2 + 1) - 2x + 2 arctan(x) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral ln(x^2 + 1) dx = x ln(x^2 + 1) - 2x + 2 arctan(x) + C

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