Calcule as integrais indefinidas abaixo, utilizando substituições por identidades trigonométricas: integral tan ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício é da área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona tan^2(x) = sec^2(x) - 1 com . Sabemos que:
Essa identidade é muito útil porque a integral de é mais fácil de calcular.

Passo 3

Agora, substituímos integral tan^2(x) , dx = integral (sec^2(x) - 1) , dx na integral pela expressão acima:
Isso simplifica a integral em duas partes que são mais simples de resolver.

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral sec^2(x) , dx - integral 1 , dx
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 5

Sabemos que a integral de integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C1 é integral 1 , dx = x + C2 e a integral de em relação a é . Então:
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Juntando as duas partes e combinando as constantes de integração em uma só constante integral tan^2(x) , dx = tan(x) - x + C :

Resposta

integral tan^2(x) , dx = tan(x) - x + C

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