Calcule as integrais indefinidas abaixo, utilizando substituições por identidades trigonométricas: integral sin (2 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida de em relação a . Esse exercício envolve conhecimentos de integrais básicas e identidades trigonométricas, além da técnica de substituição. Vamos usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar funções como , onde é uma constante, podemos usar a substituição direta. A ideia é escolher uma nova variável que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = 2x igual a dudx = 2 :
dx = du2
Agora, derivamos ambos os lados em relação a para encontrar :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos integral sin(2x) , dx = integral sin(u) cdot du2 por e por na integral original:

Passo 5

Fatoramos a constante 12 integral sin(u) , du para fora da integral:

Passo 6

Agora, integramos integral sin(u) , du = -cos(u) + C em relação a . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos 12 ( -cos(2x) ) + C = -cos(2x)2 + C de volta por :

Resposta

A integral indefinida de integral sin(2x) , dx = -cos(2x)2 + C em relação a é:

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