Calcule as integrais indefinidas indicadas abaixo:
integral cos (4 x) e^sin (4 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em uma forma mais simples.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observamos que a função exponencial u = sin(4x) sugere que podemos usar a função dentro do expoente como nossa substituição. Então, vamos definir:
Isso significa que precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 4cos(4x) em relação a du = 4cos(4x) dx Rightarrow cos(4x) dx = du4 :
Então, rearranjando para :
Isso simplifica a nossa integral original.

Passo 4

Substituindo integral cos(4x) e^sin(4x) dx = integral e^u cdot du4 = 14 integral e^u du e na integral original:
Agora, a integral está em uma forma mais simples que podemos resolver facilmente.

Passo 5

Integrando 14 integral e^u du = 14 e^u + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 14 e^sin(4x) + C de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral indefinida é igual a , onde é a constante de integração.

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